Question

如图所示，在?ABCD中，AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB，PN∥AD，连结AM，设AP=x，△AMP的面积为y．
（1）四边形PMCN是不是菱形，请说明理由．
（2）写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）首先得出四边形PMCN是平行四边形，进而利用直角三角形的性质得出PM＞MC，即可得出四边形PMCN不可能是菱形；
（2）利用CA=CB=2，∠ACB=90°，得出∠CAB=∠CBA=45°，进而求出CP=CM，则AP=BM=x，MC=BC-BM=2-x，再利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系式．

解答：解：（1）四边形PMCN不可能是菱形，
理由：∵PM∥AB，
∴PM∥CN，
同理可得：PN∥MC，
∴四边形PMCN是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△PCM为直角三角形，
∴PM＞MC，
∴四边形PMCN不可能是菱形；

（2）在△ACB中，
∵CA=CB=2，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
又∵PM∥AB，
∴∠CPM=∠CMP=45°，
∴CP=CM，
∴AP=BM=x，
∴MC=BC-BM=2-x，
S_△AMP=

1

2

AP×MC=

1

2

x×（2-x），
∴y与x之间的函数关系式为：y=-

1

2

x²+x．

点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质和三角形面积求法和等腰三角形的性质等知识，得出AP=BM是解题关键．