题目内容

已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP₁的长；
（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．

解：（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁为圆心，F₁为P₁与直线AC的切点，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽Rt△CAB．
∴ $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P₁F₁，P₁P∥BE，
∴四边形P₁PEB为平行四边形，
∴P₁B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP₁≌Rt△PGE，AP₁=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．
1≤m＜4；

（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又△EFC∽△PFA，
∴ $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，外切；
当 $\text{[math]}$ 时，相交；
当 $\text{[math]}$ 时，外离．
分析：（I）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP₁A∽Rt△CAB．即可求出AP₁的长；
（II）过P作BC的垂线，则可证明四边形P₁PEB为平行四边形，∴Rt△BAP₁≌Rt△PGE，则s=-2m+9.1≤m＜4．
（III）由△EFC∽△ABC，则EC，PE，PF，再由△EFC∽△PFA，得出AP，再根据当 $\text{[math]}$ 时，外切；当 $\text{[math]}$ 时，相交；当 $\text{[math]}$ 时，外离三种情况得出答案．
点评：本题是一个综合性的题目，考查的知识点有：相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系以及一次函数问题，综合性较强．