Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，两动点P、Q分别同时从D、A出发，以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动，试解答下列各题：
（1）当P、Q出发后多少秒时，四边形APOQ为正方形？
（2）当P、Q出发后多少秒时，S_△PQO=S_{正方形ABCD}？

Answer 1

解：（1）设当P、Q出发后x秒时，四边形APOQ为正方形，
则DP=AQ=x；AP=4-x，
∵正方形APOQ，
∴AP=PO=AQ，
∴4-x=x，
解得：x=2．
故当P、Q出发后2秒时，四边形APOQ为正方形；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DO=OA，∠PDO=∠OAB=45°，
又∵PD=AQ，
∴△AQO≌△DPO（SAS），
∴S_△AQO=S_△DPO，
设P、Q出发后a秒时，S_△PQO=S_{正方形ABCD}，
∴AP=4-a，AQ=PD=a，
S_△POQ=S_{四边形APOQ}-S_△APQ=S_△ADO-S_△APQ=AO•DO-a（4-a），
∵△ADO是等腰直角三角形，
∴AO=DO，
∵AD=4，
∴AO=DO=4×sin45°=4×=2，
∴AO•DO=×2×2=4，
∴4-a（4-a）=×4×4，
解得：a=1或3，
故当P、Q出发后1或3秒时，S_△PQO=S_{正方形ABCD}．
分析：（1）首先根据题意画出图形，再设当P、Q出发后x秒时，四边形APOQ为正方形，则DP=AQ=x；AP=4-x，再根据条件“四边形APOQ为正方形”可得AP=PO=AQ，故4-x=x，解可得答案；
（2）首先利用正方形的性质找出证明△AQO≌△DPO的条件，进而得到△AQO和△PDO的面积相等，由此推出△ADO的面积与四边形APOQ的面积相等，再根据S_△POQ=S_{四边形APOQ}-S_△APQ=S_△ADO-S_△APQ代入相关数据，解方程可得答案．
点评：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及一元二次方程的应用，解决此题的关键是推出△ADO的面积与四边形APOQ的面积相等，从而得到△POQ的面积等于△ADO的面积与△APQ的面积差．