题目内容

如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB．
【小题1】求b＋c的值
【小题2】若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
【小题3】在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．


【小题1】因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴正半轴交于点B，所以点B的坐标为（0，c）．…… 1分
因为OA＝OB，所以点A的坐标为（－c，0）．…… 2分
将点A（－c，0）代入y＝－x2＋bx＋c，得－c2＋bc＋c＝0．
因为c≠0，整理，得b＋c＝1．…… 4分
【小题2】如果四边形OABC是平行四边形，那么BC//AO，BC＝AO．
因此点C的坐标可以表示为（c，c）．…… 5分
当点C（c，c）落在抛物线y＝－x2＋bx＋c上时，得－c2＋bc＋c＝c．
整理，得b＝c．…… 6分
结合第（1）题的结论b＋c＝1，得．…… 7分
此时抛物线的解析式为．…… 8分
【小题3】过点P作PM⊥y轴，垂足为M．

因为BP平分∠CBO，所以△BPM是等腰直角三角形．9分
设点P的坐标为，
由BM＝PM，列方程．…… 10分
解得或（舍去）．…… 11分
所以，点P的坐标为．…… 12分

解析

练习册系列答案
相关题目

如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．

（１）求ａ的值；

（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；

（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（9分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx－3a过点A(1，0)，B(0，－3)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，
求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形
为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题9分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点C、D是抛物线上的一对对称点．

【小题1】(1)求抛物线的解析式；
【小题2】(2)求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
【小题3】(3)求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．

（9分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx－3a过点A(1，0)，B(0，－3)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，
求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形
为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题满分10分）

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．

1.（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

2.（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

3.（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

 

 

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