Question

如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）

Answer 1

解；方法一：在AB上取BE=BC，
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠CBD=∠EBD，
∵在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD，
∴CD=ED，
∠C=∠BED，
∵∠C=2∠A，
∴∠BED=2∠A，
∵∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=CD，
∵AB=BE+AE，
∴AB=CD+BC；
方法二：延长BC至F，使CF=CD，
则∠F=∠CDF，
∵∠ACB=∠F+∠CDF，
∴∠ACB=2∠F，
∴∠ACB=2∠A，
∴∠A=∠F，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD，
∴AB=BF，
∵BF=BC+CF，
∴BF=BC+CD，
∴AB=BC+CD．
分析：方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；
方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．