Question

如图，抛物线y=

1

3

x²-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．-1）．且对称轴x=l．
（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3？若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数对称轴公式以及二次函数经过（0．-1）点即可得出答案；
（2）根据S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，表示出关于a的一元二次方程求出即可；
（3）分别从当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，分别求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0．-1）．且对称轴x=l．
∴

- -m 2× 1 3 =1 n=-1

，解得：

m= 2 3 n=-1

，
∴抛物线解析式为y=

1

3

x²-

2

3

x-1，
令

1

3

x²-

2

3

x-1=0，得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a，

1

3

a2-

2

3

a-1）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3．
作DM⊥x轴于M，则S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDM+S_△BMD，
∴S_{四边形ABDC}=

1

2

|x_Ay_C|+

1

2

（|y_D|+|y_C|）x_M+

1

2

（x_B-x_M）|y_D|
=

1

2

×1×1+

1

2

[-（

1

3

a²-

2

3

a-1）+1]×a+

1

2

（3-a）[-（

1

3

a²-

2

3

a-1）]
=-

1

2

a²+

3

2

a+2，
∴由-

1

2

a²+

3

2

a+2=3，
解得：a₁=1，a₂=2，
∴D的纵坐标为：

1

3

a²-

2

3

a-1=-

4

3

或-1，
∴点D的坐标为（1，-

4

3

），（2，-1）；

（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，
当x=-4时，y=7；当x=4时，y=

5

3

；
所以此时点P₁的坐标为（-4，7），P₂的坐标为（4，

5

3

）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，
过点P₃作x轴的垂线交于点H，
可证得△P₃HG≌△Q₃OG，
∴GO=GH，
∵线段AB的中点G的横坐标为1，
∴此时点P横坐标为2，
由此当x=2时，y=-1，
∴这是有符合条件的点P₃（2，-1），
∴所以符合条件的点为：P₁的坐标为（-4，7），P₂的坐标为（4，

5

3

）；P₃（2，-1）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．