Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，tan∠OCA=

1

3

，S_△ABC=6．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入y=ax²+bx+3，得y=3，即C（0，3），根据tan∠OCA=

1

3

，得出A（1，0），再由S_△ABC=6，求出B（-3，0）．（2）把A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax²+bx+3，即可求出抛物线的解析式，从而得出顶点坐标．
（3）由于A，C两点坐标已知，而E，F坐标待定，那么由A、C、E、F构成的平行四边形应分两种情况考虑：
①AC为平行四边形的一边时；
②AC为平行四边形的对角线时．两种情况分别求出点E的坐标．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+3，
∴C（0，3），（1分）
又∵tan∠OCA=

1

3

，
∴A（1，0），（1分）
又∵S_△ABC=6，
∴

1

2

×3×AB=6，
∴AB=4，（1分）
∴B（-3，0）．（1分）

（2）把A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax²+bx+3，
得：

0=a+b+3 0=9a-3b+3

，（1分）
∴a=-1，b=-2，
∴y=-x²-2x+3，（2分）
∵y=-（x+1）²+4，
∴顶点坐标（-1，4）．（1分）

（3）①AC为平行四边形的一边时，
E₁（-1，0），（1分）
E₂（-2-

7

，0），（1分）
E₃（-2+

7

，0）；（1分）
②AC为平行四边形的对角线时，
E₄（3，0）．（1分）

点评：本题结合三角函数，平行四边形的判断考查二次函数的综合应用，主要考查了代入法求二次函数解析式及交点坐标．