Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且.

（1）直接写出：______，______；

（2）若点为轴正半轴上的点，且；

①求经过，两点的直线解析式；

②求证：.

（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，3；（2）①；，②证明见解析；（3）；；；.

【解析】

（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；

（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

（1）方程，

分解因式得：，

可得：，，

解得：，，

∵，

∴，；

故答案为4，3；

（2）①根据题意，设，则，

解得：，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴点的坐标是，

设经过、两点的直线的解析式为，

则，

解得：，

∴解析式为；

②如图，

在与中，，，

∴，

又∵，

∴；

（3）根据计算的数据，，

∵，

∴平分，

分四种情况考虑：

①、是邻边，点在射线上时，，

∴点与重合，即；

②、是邻边，点在射线上时，应在直线上，且垂直平分，

此时点坐标为；

③是对角线时，做垂直平分线，解析式为，直线过，且值为（平面内互相垂直的两条直线值乘积为-1），

∴解析式为，

联立直线与直线，得：，

解得：，，

∴；

④是对角线时，过作垂线，垂足为，

∵，

∴，

在中，，，

根据勾股定理得，即，

做关于的对称点，记为，，

过做轴垂线，垂足为，，

∴，

综上所述，满足条件的点有四个：；；；.