题目内容
已知抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=
OC，tan∠ACO=
，顶点为D．
（1）求点A的坐标．
（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标．
（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大？请求出此时S的最大值和点N的坐标．
（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
（1）求点A的坐标．
（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标．
（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大？请求出此时S的最大值和点N的坐标．
（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为
（1，
-1）或（1，-
-1）
| 5 |
| 5 |
（1，
-1）或（1，-
-1）
．| 5 |
| 5 |
分析：（1）先令x=0求出点C的坐标，再利用三角函数值求出求出OA的值，从而得到点A的坐标；
（2）求出OB的长度，得到点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标D，再用待定系数法求出直线CD的解析式，就可以求出直线CD与x轴的交点E的坐标；
（3）根据AE是以点A、C、F、E为顶点的平行四边形的边或对角线可以求出对应F的坐标有3个，将三个坐标代入抛物线的解析式检验就可以确定在抛物线上的点F；
（4）过点N作NQ∥x轴交AM于点Q，根据抛物线的解析式设出点M的坐标，并求出点N的坐标，然后求出直线AM的解析式，再根据解析式以及点N的坐标设出点Q的坐标，然后表示出ABMN的面积S，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（5）先求出直线AM与抛物线对称轴的交点E的坐标，利用勾股定理求出AE的长度，然后分①圆心在x轴上方②圆心在x轴的下方两种情况，根据相似三角形对应边成比例求出圆的半径r，写出点P的坐标即可．
（2）求出OB的长度，得到点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标D，再用待定系数法求出直线CD的解析式，就可以求出直线CD与x轴的交点E的坐标；
（3）根据AE是以点A、C、F、E为顶点的平行四边形的边或对角线可以求出对应F的坐标有3个，将三个坐标代入抛物线的解析式检验就可以确定在抛物线上的点F；
（4）过点N作NQ∥x轴交AM于点Q，根据抛物线的解析式设出点M的坐标，并求出点N的坐标，然后求出直线AM的解析式，再根据解析式以及点N的坐标设出点Q的坐标，然后表示出ABMN的面积S，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（5）先求出直线AM与抛物线对称轴的交点E的坐标，利用勾股定理求出AE的长度，然后分①圆心在x轴上方②圆心在x轴的下方两种情况，根据相似三角形对应边成比例求出圆的半径r，写出点P的坐标即可．
解答：解：（1）当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=
，OC=6，
∴OA=1，
∴A（-1，0）；
（2）∵OB=
OC，
∴OB=3，
∴B（3，0），
由题意，得
，
解得
，
∴y=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8，
∴D（1，8），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
∴直线CD的解析式为y=2x+6，
∴点E的坐标为E（-3，0）；
（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
当AE为平行四边形的边时，F1（2，6），F2（-2，6），
当AE为平行四边形的对角线时，F3（-4，-6），
经验证，只有点（2，6）在抛物线y=-2x2+4x+6上，
∴F（2，6）；
（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，
设N（m，-2m2+4m+6），
当x=2时，y=6，
∴M（2，6），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m2+4m+6-（2m+2）=-2m2+2m+4，
∵S△ABM=
×4×6=12，
∴S=S△ABM+S△AMN=12+S△ANQ+S△MNQ，
=12+
×3×（-2m2+2m+4），
=-3m2+3m+18，
=-3（m-
）2+
，
∴当m=
时，S的最大值为
，
当m=
时，y=-2x2+4x+6=-2×
+4×
+6=
，
∴N（
，
）；
（5）设直线AM与对称轴相交于点E，
则y=2×1+2=4，
∴点E的坐标是（1，4），
∴AE=
=2
，
设圆的半径为r，
①圆心在x轴上方时，
=
，
解得r=
-1，
∴点P的坐标为（1，
-1），
②圆心在x轴的下方时，
=
，
解得r=
+1，
∴点P的坐标为（1，-
-1），
综上所述，点P的坐标为（1，
-1）或（1，-
-1）．
∴点C的坐标为C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=
| 1 |
| 6 |
∴OA=1，
∴A（-1，0）；
（2）∵OB=
| 1 |
| 2 |
∴OB=3，
∴B（3，0），
由题意，得
|
解得
|
∴y=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8，
∴D（1，8），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
|
解得
|
∴直线CD的解析式为y=2x+6，
∴点E的坐标为E（-3，0）；
（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
当AE为平行四边形的边时，F1（2，6），F2（-2，6），
当AE为平行四边形的对角线时，F3（-4，-6），
经验证，只有点（2，6）在抛物线y=-2x2+4x+6上，
∴F（2，6）；
（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，
设N（m，-2m2+4m+6），
当x=2时，y=6，
∴M（2，6），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则
|
解得
|
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m2+4m+6-（2m+2）=-2m2+2m+4，
∵S△ABM=
| 1 |
| 2 |
∴S=S△ABM+S△AMN=12+S△ANQ+S△MNQ，
=12+
| 1 |
| 2 |
=-3m2+3m+18，
=-3（m-
| 1 |
| 2 |
| 75 |
| 4 |
∴当m=
| 1 |
| 2 |
| 75 |
| 4 |
当m=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
∴N（
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
（5）设直线AM与对称轴相交于点E，
则y=2×1+2=4，
∴点E的坐标是（1，4），
∴AE=
| 22+42 |
| 5 |
设圆的半径为r，
①圆心在x轴上方时，
| r |
| 2 |
| 4-r | ||
2
|
解得r=
| 5 |
∴点P的坐标为（1，
| 5 |
②圆心在x轴的下方时，
| r |
| 2 |
| 4+r | ||
2
|
解得r=
| 5 |
∴点P的坐标为（1，-
| 5 |
综上所述，点P的坐标为（1，
| 5 |
| 5 |
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
与x轴的另一个交点为E．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（其中b＞0，c＜0）的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，过坐标原点O，作OA⊥PQ，垂足为A，且OA=