Question

如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，ED交AC于点P，DQ⊥AC于点Q，AB=

2

BC，
求证：AQ=QP．

Answer 1

分析：根据矩形性质得出AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∠D=90°，求出AD=BC=2CE，证△ADP∽△CEP，退出DP=2PE，求出DP=

2

3

DE，根据勾股定理求出AD=AP，根据等腰三角形性质得出即可．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∠D=90°，
∵E为BC中点，
∴AD=BC=2CE，
∵AD∥CE，
∴△ADP∽△CEP，
∴

AD

CE

=

DP

PE

，
∵AD=2CE，
∴DP=2PE，
即DP=

2

3

DE，
∵CD=AB=

2

BC=2

2

CE，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE²=DC²+CE²，
∴DE²=9CE²，
∴DE=3CE，
∴DP=

2

3

DE=2CE=AD，
∵DQ⊥AP，
∴AQ=QP．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．