Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2），AB=4，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．

（1）求证：△AOD是等边三角形；

（2）求点B的坐标；

（3）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．

①当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）

②若m=2，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标．

Answer 1

解：（1）如图2，证明：过点A作AM⊥x轴于点M，

∵点A的坐标为（2，2），

∴OM=2，AM=2

∴在Rt△AOM中，tan∠AOM===

∴∠AOM=60°

由勾股定理得，OA===4

∵OD=4，

∴OA=OD，

∴△AOD是等边三角形．

（2）如图2，解：过点A作AN⊥BC于点N，

∵BC⊥OC，AM⊥x轴，

∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°

∴四边形ANCM为矩形，

∴AN=MC，AM=NC，

∵∠B=60°，AB=4，

∴在Rt△ABN中，AN=AB•SinB=4×=6，BN=AB•CosB=4×=2

∴AN=MC=6，CN=AM=2，

∴OC=OM+MC=2+6=8，

BC=BN+CN=2+2=4，

∴点B的坐标为（8，4）．

 

（3）①如图3，m=t+2；

②如图4，（2，0），（，0）．