Question

如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．

(1) 求证：是⊙O的切线．
(2) 若⊙O的半径为,,设．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）①y=x²+144（0≤x≤4），②.

试题分析：（1）要证PD是⊙O的切线只要证明∠PDO=90°即可；
（2）①分别用含有x，y的式子，表示OP²和PD²这样便可得到y关于x的函数关系式；
②已知x的值，则可以根据关系式求得PD的值，已PC的值且PD=PE，从而可得到EC，BE的值，这样便可求得tanB的值．
试题解析：（1）证明：连接OD．

∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．
∴PD是⊙O的切线．
（2）①连接OP．
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=x²+192．
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=x²+144．
∴y=x²+144（0≤x≤4）.
②当x=时，y=147，
∴PD=7，
∴EC=，
∵CB=3，
∴在Rt△ECB中，tanB=．
考点: 1.二次函数综合题；2.切线的判定；3.解直角三角形.