Question

19、如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB=∠CDF，请说明理由．

Answer 1

分析：本题是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB=∠CDF，这一结论如何用？因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高（中线）是等腰三角形中一条常用辅助线．

解答：解：当D为AC的中点时，∠ADB=∠CDF．理由：
过A作AG平分∠BAC，交BD于G，
∴∠GAB=∠CAG=∠C=45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠CAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∴△ABG≌△CAF（ASA），
∴AG=CF，
当AD=CD时，
△AGD≌△CFD（SAS），
∴∠ADB=∠CDF．

点评：此题主要考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构成全等三角形是关键．