题目内容
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】分析：（1）先用含x的代数式（12-3x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代数式（12-4x）÷3=4-
x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
（3）用含x的代数式（a-nx）÷3=
-
x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
解答：解：（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；
（2）AD=（12-4x）÷3=4-
x，
S=x（4-
x），
=-
x2+4x，
当x=-
=
时，
S最大=
=3，
答：当x=
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；
（3）AD=（a-nx）÷3=
-
x，
S=x（
-
x），
=-
x2+
x，
当x=-
=
时
S最大=
=
．
答：当x=
时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是
平方米．
点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）根据面积公式列方程，求出x的值．（2）根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．（3）根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值．
（2）用含x的代数式（12-4x）÷3=4-
x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．（3）用含x的代数式（a-nx）÷3=
-
x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．解答：解：（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；
（2）AD=（12-4x）÷3=4-
x，S=x（4-
x），=-
x2+4x，当x=-
=
时，S最大=
=3，答：当x=
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；（3）AD=（a-nx）÷3=
-
x，S=x（
-
x），=-
x2+
x，当x=-
=
时S最大=
=
．答：当x=
时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是
平方米．点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）根据面积公式列方程，求出x的值．（2）根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．（3）根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值．
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