Question

（2012•建邺区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BC=4，AC=3CE时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）AE与⊙O相切，利用圆的性质和平行线的性质证明∠AMO=90°，即OM⊥AE即可；
（2）设⊙O的半径为r，则AO=6-r利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识以及利用平行线判定三角形相似和相似三角形的性质即可求出r的值．

解答：解：（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=

1

2

BC，∠ABC=∠C．
∵BC=4，cosC=

1

3

，
∴BE=2，cos∠ABC=

1

3

．
在△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=

BE

cos∠ABC

=6．
设⊙O的半径为r，则AO=6-r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴

OM

BE

=

AO

AB

．
∴

r

2

=

6-r

6

．
解得：r=

3

2

∴⊙O的半径为

3

2

．

点评：此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．