Question

如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为（3，7），过点D的直线y=kx+b交x轴、y轴于点M、N，四边形ABCD、A₁B₁C₁C、A₂B₂C₂C₁，…均为正方形．
（1）正方形ABCD的边长为______；点M的坐标是______；
（2）若如此连续组成正方形，则正方形A_nB_nC_nC_n-1的边长为______（用含n的代数式表示）

Answer 1

解：（1）过D作DP⊥x轴于P，DQ⊥y轴于Q，
∵D（3，7），
∴DP=7，DQ=3，
∵四边形ABCD正方形，
∴∠ADC=∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=DC，
∴∠DAQ+∠BAO=90°，又∠DAQ+∠ADQ=90°，
∴∠BAO=∠ADQ，
在△ADQ和△ABO中，
，
∴△ADQ≌△BAO（AAS），
∴DQ=AO=3，AQ=OB=OQ-OA=7-3=4，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB==5，
∴正方形ABCD的边长为5；
在Rt△ADM中，DQ⊥AM，
∴△MDQ∽△DAQ，
∴DQ²=MQ•AQ，即9=4MQ，
∴MQ=，
∴OM=MQ+OQ=+7=，
则M（0，）；

（2）∵AB∥A₁B₁，
∴∠ABO=∠A₁B₁B，又∠AOB=∠BA₁B₁=90°，
∴△AOB∽△BA₁B₁，又AB=BC=5，
∴=，即=，
又A₁C=A₁B₁，
∴A₁B₁==；
同理得到A₂B₂==，A₃B₃==，
则以此类推，正方形A_nB_nC_nC_n-1的边长为．
故答案为：（1）5；（0，）；（2）．
分析：（1）过D作DP垂直于x轴，DQ垂直于y轴，由D的坐标得出DP与DQ的长，四边形ABCD为正方形，得到四个角为直角，四条边相等，由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AD=AB，利用AAS得到三角形ADQ与三角形AOB全等，由全等三角形的对应边相等得到QD=AO，AQ=OB，求出OA与OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即为正方形ABCD的边长，再由直角三角形ADM中，DQ垂直于AM，得到三角形MDQ与三角形AOD相似，由相似得比例，将各自的值代入求出MQ的长，由MQ+OQ求出OM的长，即可确定出M的坐标；
（2）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到△AOB与△BA₁B₁相似，由相似得比例，将各自的值代入求出A₁B₁的长，即为正方形A₁B₁C₁C的边长，同理求出A₂B₂C₂C₁的边长，以此类推，即可得到正方形A_nB_nC_nC_n-1的边长．
点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，锻炼了学生归纳总结的能力．