题目内容
【题目】边长为2的正方形
在平面直角坐标系中的位置如图所示，点
是边
的中点，连接
，点
在第一象限，且
，
.以直线
为对称轴的抛物线过
，两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
从点出发，沿射线
每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为
秒.过点作
于点
，当为何值时，以点，，为顶点的三角形与
相似？
（3）点
为直线上一动点，点
为抛物线上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
或
时，以点
，
，
为顶点的三角形与
相似；（3）存在，四边形
是平行四边形时，
，
；四边形
是平行四边形时，
，
；四边形
是平行四边形时，
，
【解析】
（1）根据正方形的性质，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD＝∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF＝∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF＝∠DCO，
，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：当四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．
解：（1）过点
作
轴于
点.
∵四边形
是边长为2的正方形，是
的中点，
∴
，
，
.
∵
，∴
.
∵
，∴
.
在
和
中
，
∴
，
，
.
∴点的坐标为
.
∵抛物线的对称轴为直线
即直线
，∴可设抛物线的解析式为
，
将
、点的坐标代入解析式，得
，解得
.
∴抛物线的解析式为；
（2）①若
，则
，
，
∴
，∴四边形
是矩形，
∴
，∴；
②若
，则，
∴.
∴
.
∴
，∴
.
∵
，∴
，∴
.
∵，
∴
，，
综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与相似：
（3）存在，①若以DE为平行四边形的对角线，如图2，
此时，N点就是抛物线的顶点（2，
），
由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y＝
x；
∵DM∥EN，
∴设DM的解析式为：y＝x＋b，
将D（1，0）代入可求得b＝，
∴DM的解析式为：y＝x，
令x＝2，则y＝，
∴M（2，）；
②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，
∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD＝∠BCM，
在△OCD和△BCM中
，
∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM＝CD＝DE，BM＝OD＝1，
∴CDEM是平行四边形，
即N点与C占重合，
∴N（0，2），M（2，3）；
③N点在抛物线对称轴右侧，MN∥DE，如图4，
作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H，
∵MNED是平行四边形，
∴∠MDE＝MNE，∠ENH＝∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH＝∠DHB＝∠ENH，
∴∠MNB＝∠EDF，
在△BMN和△FED中
∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM＝EF＝1，
BN＝DF＝2，
∴M（2，1），N（4，2）；
综上所述，
四边形是平行四边形时，，；
四边形是平行四边形时，，；
四边形是平行四边形时，，.
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