Question

【题目】如图，抛物线经过点，，三个点．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点，为该抛物线上的两点，且．求的取值范围；

（3）在线段上是否存在一点（不与点，点重合），使点，点到直线的距离之和最大？若存在，求的度数，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，60°，

【解析】

（1）利用待定系数法将O，A，B三个点的坐标代入y=ax2+bx+c即可求得a，b，c的值，进而求得抛物线解析式．
（2）设出点P关于对称轴对称的点的坐标，利用数形结合的思想求解即可．
（3）分析如图，运用点到直线的距离的性质求解即可．

解：（1）抛物线经过点，，，

，解得．

（2）由（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，得

点关于直线的对称点是．

当时，随的增大而小．

当时，随的增大而增大．

当时，．

（3）存在．
如图，

分别过点A，B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，并作BE⊥OC于点E，AD⊥OC于点D．
∵AD≤AC，BE≤BC，
∴AD+BE≤AC+BC=AB．
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．
过点A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N．AB与x轴交于H．
又∵A（-1，-），B（-3，），
∴AM=BN=，∠AMH=∠BNH=90°．
又∵∠AHO=∠BHN，
∴△AMH≌△BNH．
∴MH=NH．
又∵OM=1，ON=3，
∴OM=MH=NH=1．

，

．

同理：．

点坐标为．