Question

如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m、n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）写出S关于m的函数关系式；
（3）当S=时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1））∵正方形OABC的面积为9，
∴正方形OABC的边长为3，即OA=3，AB=3，
∴B点坐标为（3，3）．
又∵点B是函数y=的图象上的一点，
∴3=，
∴k=9；

（2）分两种情况：
当m＞3时，点P在点B的右侧，如图，
则PE=n，AE=m-3，
∴S=n（m-3）=（m-3）=9-；
当0＜m≤3时，点P在点B的左侧，如图，
则PF=m，FC=n-3，
∴S=m（n-3）=m（-3）=9-3m；

（3）当时，
当0＜m≤3时，
，
得：，
∵mn=9，
∴n=6，
∴P（），
当m＞3时，
得m=6，
∵mn=9，
∴，
∴P（）．
分析：（1）由于点B在函数y=的图象上，而正方形OABC的面积为9，由此可以得到正方形边长为3，接着得到B的坐标及k的值；
（2）分类讨论①当m＞3时，点P在点B的右侧，②当0＜m≤3时，点P在点B的左侧得出不重合部分的面积即可；
（3）根据（2）函数关系式利用当m＞3时，当0＜m≤3时，即可求解．
点评：此题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是利用了分类讨论的数学思想，能够培养学生严谨的思维习惯．