Question

【题目】如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．

（1）求证：△CFD∽△CAB；

（2）求证：四边形ABED为菱形；

（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形ABED的面积为24．

【解析】

（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；

（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD＝AB，即可得出四边形ABED为菱形；

（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性质得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面积公式即可得出结果．

（1）证明：∵EF∥AB，

∴∠CFD＝∠CAB，

又∵∠C＝∠C，

∴△CFD∽△CAB；

（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，

∴四边形ABED是平行四边形，

∵BC＝3CD，

∴BC：CD＝3：1，

∵△CFD∽△CAB，

∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，

∴AB＝3DF，

∵AD＝3DF，

∴AD＝AB，

∴四边形ABED为菱形；

（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：

∵四边形ABED为菱形，

∴BD⊥AE，OB＝OD，

∴∠AOB＝90°，

∵△CFD∽△CAB，

∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，

∴AB＝3DF＝5，

∵BC＝3CD＝9，

∴CD＝3，BD＝6，

∴OB＝3，

由勾股定理得：OA＝＝4，

∴AE＝8，

∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝24．