题目内容

平面上A、B两点到直线l的距离分别是 $数学公式$ 和 $数学公式$ ，则线段AB的中点C到直线l的距离是

A.
3
B.
$数学公式$
C.
3或 $数学公式$
D.
以上答案都不对

C
分析：此题应该分A，B在直线l的同侧和异侧两种情况进行分析．
解答：

解：本题要分两种情况讨论
（1）如图（一）A，B在直线l的同侧时
∵C是AB的中点
∴CD是梯形AEFB的中位线
∴CD= $\text{[math]}$ （AE+BF）= $\text{[math]}$ （3- $\text{[math]}$ +3+ $\text{[math]}$ ）=3．
（2）如图（二）A，B在直线l的两侧时
连接AF，EB，延长CD交AF与G，反向延长CD交BE于H
∵AE⊥EF，BF⊥EF，CD⊥EF，C为AB的中点
∴AE∥CD∥BF，AC=BC，ED=DF
∴GH是梯形AEBF的中位线
∴GH= $\text{[math]}$ （AE+BF）= $\text{[math]}$ （3- $\text{[math]}$ +3+ $\text{[math]}$ ）=3
在△ABF中，
∵AC=BC，HG∥BF
∴CG是△ABF的中位线
∴CG= $\text{[math]}$ BF= $\text{[math]}$ （3- $\text{[math]}$ ）
同理，DH= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ （3+ $\text{[math]}$ ）
CD=GH-CG-DH=3- $\text{[math]}$ （3- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ （3+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴线段AB的中点C到直线l的距离是3或 $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查了三角形及梯形中位线的性质，在解答时一定要分两种情况讨论，不要漏解．