题目内容
（2001•温州）已知抛物线y=x2+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是 ．
【答案】分析：根据二次函数y=x2+2（k+1）x-k的图象与x轴有两个交点可以得到其判别式是正数，由此得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围，再根据两个交点分别在直线x=1的两侧求出k的取值范围然后再取k的公共部分．
解答：解：∵抛物线y=x2+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=[2（k+1）]2-4×1×（-k）=4（k2+3k+1）＞0，
解得：k＞
或k＜
，
∵两个交点分别在直线x=1的两侧，
∴可设x1＜1，x2＞1，
即x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）•（x2-1）＜0，
即（x1x2）-（x1+x2）+1＜0，
由解析式y=x2+2（k+1）x-k可得x1x2=-k，x1+x2=-2（k+1），
∴（x1x2）-（x1+x2）+1=k+3＜0，
解得k＜-3；
所以k的取值范围是k＜-3．
点评：此题考查了抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，也考查了一元二次方程的根与系数的关系，其中解题时利用不等式的巧妙变形，可以快速解不等式，这也是解不等式经常采用的方法．
解答：解：∵抛物线y=x2+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=[2（k+1）]2-4×1×（-k）=4（k2+3k+1）＞0，
解得：k＞
或k＜，∵两个交点分别在直线x=1的两侧，
∴可设x1＜1，x2＞1，
即x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）•（x2-1）＜0，
即（x1x2）-（x1+x2）+1＜0，
由解析式y=x2+2（k+1）x-k可得x1x2=-k，x1+x2=-2（k+1），
∴（x1x2）-（x1+x2）+1=k+3＜0，
解得k＜-3；
所以k的取值范围是k＜-3．
点评：此题考查了抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，也考查了一元二次方程的根与系数的关系，其中解题时利用不等式的巧妙变形，可以快速解不等式，这也是解不等式经常采用的方法．
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