题目内容
如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点．（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由．
分析：（1）先由题意求出P、Q两点移动的速度，再设经过t分钟，线段PQ的长度为2，用y表示出PM及QM的长，由勾股定理即可求出t的值；
（2）由（1）中PM及QM的长度即可得出线段PQ长度的平方，y与时间t之间的函数关系式及t的取值范围；
（3）由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
（2）由（1）中PM及QM的长度即可得出线段PQ长度的平方，y与时间t之间的函数关系式及t的取值范围；
（3）由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答：解：∵A（2，4），
∴OM=2，AM=4，
∵点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，
∴点P的速度度2，点Q速度的4，
（1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，
∵PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；
（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，
整理得，y=20t2-8t+4（0≤t≤1）；
（3）存在．
∵A（2，4），
∴N（0，4），M（2，0），
∴ON=4，OM=2，
当△MON∽△PMQ时，
=
，即
=
，解得t=0.5；
当△MON∽△QMP时，
=
，即
=
，解得t=0.2．
故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似．
∴OM=2，AM=4，
∵点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，
∴点P的速度度2，点Q速度的4，
（1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，
∵PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；
（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，
整理得，y=20t2-8t+4（0≤t≤1）；
（3）存在．
∵A（2，4），
∴N（0，4），M（2，0），
∴ON=4，OM=2，
当△MON∽△PMQ时，
| OM |
| MP |
| ON |
| MQ |
| 2 |
| 2-2t |
| 4 |
| 4t |
当△MON∽△QMP时，
| OM |
| MQ |
| ON |
| MP |
| 2 |
| 4t |
| 4 |
| 2-2t |
故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似．
点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的性质及勾股定理，根据题意用t表示出PM及QM的长度是解答此题的关键．
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