Question

【题目】如图1，抛物线的顶点为点，与轴的负半轴交于点，直线交抛物线W于另一点，点的坐标为．

（1）求直线的解析式；

（2）过点作轴，交轴于点，若平分，求抛物线W的解析式；

（3）若，将抛物线W向下平移个单位得到抛物线，如图2，记抛物线的顶点为，与轴负半轴的交点为，与射线的交点为．问：在平移的过程中，是否恒为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）恒为定值．

【解析】

（1）由抛物线解析式可得顶点A坐标为（0，-2），利用待定系数法即可得直线AB解析式；

（2）如图，过点作于，根据角平分线的性质可得BE=BN，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE可证明，设BE=x，BD=y，根据相似三角形的性质可得CE=2x，CD=2y，根据勾股定理由得y与x的关系式，即可用含x的代数式表示出C、D坐标，代入y=ax2-2可得关于x、a的方程组，解方程组求出a值即可得答案；

（3）过点作于点，根据平移规律可得抛物线W1的解析式为y=x2-2-m，设点的坐标为（t，0）（t＜0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式为y=x2-t2，联立直线BC解析式可用含t的代数式表示出点C1的坐标，即可得，可得∠，根据抛物线W的解析式可得点D坐标，联立直线BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG，∠CDG=∠，即可证明，可得，，由∠CDG=45°可得BF=DF，根据等腰三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出CF的长，根据三角函数的定义即可得答案．

（1）∵抛物线W：的顶点为点，

∴点，

设直线解析式为，

∵B（1，0），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为：．

（2）如图，过点作于，

∵平分，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴点，点，

∴点，点是抛物线W：上的点，

∴，

∵x＞0，

∴，

解得：(舍去)，，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为：．

（3）恒为定值，理由如下：

如图，过点作轴于H，过点作轴G，过点作于点，

∵a=，

∴抛物线W的解析式为y=x2-2，

∵将抛物线W向下平移m个单位，得到抛物线，

∴抛物线的解析式为：，

设点的坐标为，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为：，

∵抛物线与射线的交点为，

∴，

解得：，(不合题意舍去)，

∴点的坐标，

∴，

∴，

∴，且轴，

，

∵与轴交于点，

∴点，

∵与交于点，点，

∴，

解得：或，

∴点，A（0，-2），

∴，

∴，且轴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵点，点，

∴，

∴，

∴，

∴恒为定值．