Question

已知正六边形ABCDEF的边长为1，QR是正六边形内平行于AB的任意线段，求以QR为底边的内接于正六边形ABCDEF的△PQR的最大面积．

Answer 1

分析：要使△PQR的面积最大，P点应在DE上；Q，R点应分别在AF、BC上．过P点PH⊥QR于H，交AB于G，过A，B分别作AM⊥QR于M，BN⊥QR于．可设PH=x，再用含x的式子表示QR，根据平方的非负性，得出△PQR的最大面积．

解答：解：过P点PH⊥QR于H，交AB于G，过A，B分别作AM⊥QR于M，BN⊥QR于N．
设PH=x，则HG=

3

-x．
QM=NR=AM•tan30°=1-

3

3

x，
QR=2（1-

3

3

x）+1=3-

2

3

3

x，
△PQR的面积=

1

2

（3-

2

3

3

x）x=-

3

3

（x-

3 3

4

）²+

9 3

16

，
当x=

3 3

4

，即当Q，R分别在AF、BC的中点时，△PQR的最大面积为

9 3

16

．

点评：本题综合性较强，考查了三角形的面积，平方的非负性，三角函数等知识，有一定的难度．