Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；

（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．

Answer 1

解：（1）设，

把代入，得，

∴抛物线的解析式为：．

顶点的坐标为．

（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，

得

解得．

∴直线解析式为．

，

∴

  ．

∴当时，取得最大值，最大值为．

（3）当取得最大值，，，∴．

∴四边形是矩形．

作点关于直线的对称点，连接．

法一：过作轴于，交轴于点．

设，则．

在中，由勾股定理，

．

解得．

∵，

∴．

由，可得，．

∴．

∴坐标．

法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．

易证．

∴．

设，则．

∴，．

由三角形中位线定理，

．

∴，即．

∴坐标．

把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．