题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
（
）经过
，
，
三点，其顶点为
，连接
，点
是线段上一个动点（不与
重合），过点作
轴的垂线，垂足为
，连接
．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）如果点的坐标为
，
的面积为
，求与
的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为
，连接
，把
沿直线折叠，点的对应点为
，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．
 |
解：（1）设
，
把代入，得
，
∴抛物线的解析式为：
．
顶点的坐标为
．
（2）设直线解析式为：
（
），把两点坐标代入，
得
解得
．
∴直线
解析式为
．
，
∴
．
∴当
时，取得最大值，最大值为
．
（3）当取得最大值，，
，∴
．
∴四边形
是矩形．
作点关于直线的对称点，连接
．
法一：过作
轴于
，
交轴于点
．
设
，则
．
在
中，由勾股定理，
．
解得
．
∵
，
∴
．
由
，可得
，
．
∴
．
∴坐标
．
法二：连接
，交
于点，分别过点
作
的垂线，垂足为
．
易证
．
∴
．
设
，则
．
∴
，
．
由三角形中位线定理，
．
∴
，即
．
∴坐标．
把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．
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