Question

【题目】已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；

（2）如图2，若AC⊥BD．垂足为E，AB＝4，DC＝6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，从而得证；

（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF＝∠DBF＝90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得，则CF＝AB．根据勾股定理即可求解．

（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴AC、BD是⊙O的直径，

∴∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵AD＝CD，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD；

（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．

∵DF是直径，

∴∠DCF＝∠DBF＝90°，

∴FB⊥DB，

又∵AC⊥BD，

∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，

∵∠FCA+∠ACD＝90°，

∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC，

∴四边形ACFB是等腰梯形，

∴CF＝AB．

根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝52，

∴DF＝2，

∴OD＝，即⊙O的半径为．