Question

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD，过A作CD的垂线，垂足是M点。
（1）如图1，若CD∥AB，求证：AM是⊙O的切线；
（2）如图2，若AB=6，AM=4，求AC的长。

图1                                       图2

Answer 1

解：（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCM=90°， ∵CD∥AB， ∴∠OCM+∠COA=180°， ∵AM⊥CD， ∴∠AMC=90°， ∴在四边形OAMC中∠OAM=90°， ∵OA为⊙O的半径， ∴AM是⊙O的切线；
（2）连接OC，BC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCM=90°， ∵AM⊥CD， ∴∠AMC=90°， ∴OC∥AM， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠3=∠2， 即∠BAC=∠CAM， 易知∠ACB=90°， ∴△BAC∽△CAM， ∴， 即AC2=AB·AM=24， ∴ AC=。