题目内容

（1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是

C

C

（填代号）
A．2sin（30°+α）=sinα+

3

B．2sin（30°+α）=2sinα+

3

C．2sin（30°+α）=

3

sinα+cosα．
（2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
（3）应用新知识解决问题：
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8

2

，求S_△ABC．

分析：（1）正确的选项为C；
（2）过A作AD⊥BM，交BC延长线于点M，过C作CE⊥AB，在直角三角形ABM中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AM等于AB的一半，再由∠ACM为三角形ABC的外角，利用外角性质得到∠ACM=30°+α，在直角三角形AEC中，表示出EC与AE，在直角三角形BEC中，表示出BE，由AE+EB表示出AB，化简后即可得证；
（3）由上述结论2sin（30°+45°）=

3

sin45°+cos45°，求出sin75°的值，过A作AE垂直于BC，由BD分别求出AB与BC的长，在直角三角形AB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：

解：（1）正确的选项为C；
（2）过A作AM⊥BM，交BC延长线于点M，过C作CE⊥AB，
∵∠AMB=90°，∠B=30°，
∴AM=

1

2

AB，即AB=2AM，
∵∠ACM为△ABC的外角，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α，
在Rt△ACM中，AC=1，
∴AM=ACsin∠ACM=sin（30°+α），
则AB=2sin（30°+α），
在Rt△AEC中，EC=ACsinα=sinα，AE=ACcosα=cosα，
在Rt△BEC中，BE=

CE

tan30°

=

3

CE=

3

sinα，
则AB=BE+AE=

3

sinα+cosα，
则2sin（30°+α）=

3

sinα+cosα；
（3）∵∠ABD=45°，∠CBD=30°，
∴2sin（30°+45°）=

3

sin45°+cos45°=

6

+

2

2

，
∴sin75°=

6

+

2

4

，
过A作AE⊥BC，
在等腰直角三角形ABD中，BD=8

2

，
∴AB=AD=8，
在Rt△BCD中，BD=8

2

，
∴CD=4

2

，BC=

BD2-CD2

=4

6

，
在Rt△ABE中，sin75°=

AE

AB

，
∴AE=8×

6

+

2

4

=2

6

+2

2

，
则S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

×4

6

×（2

6

+2

2

）=24+8

3

．

点评：此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：含30°直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练性质及定理是解本题的关键．

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）；
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）；
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②探究：当点E在线段BC上运动时，AE：EF的值是否发生改变？若不变，请求出该值并给予证明；若发生改变，请说明理由．

（1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是______（填代号）
A．2sin（30°+α）=sinα+ $数学公式$ 　
B．2sin（30°+α）=2sinα+ $数学公式$
C．2sin（30°+α）= $数学公式$ sinα+cosα．
（2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
（3）应用新知识解决问题：
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8 $数学公式$ ，求S_△ABC．

（1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是______（填代号）
A．2sin（30°+α）=sinα+

B．2sin（30°+α）=2sinα+

C．2sin（30°+α）=

sinα+cosα．
（2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
（3）应用新知识解决问题：
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8

，求S_△ABC．