Question

如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：已知∠ABC=60°，则根据三角函数求得

BE

BC

=

BD

AB

=

1

2

，又因为有公共角∠B，从而得到△BDE∽△BAC，根据对应边成比例可得到DE=

1

2

AC，同理可求得DF=

1

2

AC，EF=

1

2

AC，所以DE=DF=EF，即△DEF为等边三角形．

解答：解：连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，
易得：

BE

BC

=

BD

AB

=

1

2

．
∴△BDE∽△BAC，
∴

DE

AC

=

BD

AB

=

1

2

，
∴DE=

1

2

AC．
又∵F为中点，
∴在Rt△ADC中，DF=

1

2

AC，在Rt△ACE中，EF=

1

2

AC．
所以DE=DF=EF．
即：△DEF为等边三角形．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定和性质的应用，以及等边三角形的判定方法的理解及运用能力．