Question

已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

(1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC=AD；

(2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________；

（3）在(2)的条件下，若AG=，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=，求线段PQ的长．

Answer 1

不扣分）

(3)解: ∵FG=FA,∠AFG=90°,AG=5,则FA=FG=5;DC=3,则DF=3.

AD=FA-DF=2=DB,BC=DC-DB=3-2=1;FC==3.

作BH⊥FG于H,则BH=HG=DF=3;作NT⊥AG于T,NG=,NT=TG=;

BG=AG-AB=5-2=3,BT=BG-TG=;

∵∠MBN=∠HBG=45°,则∠MBH=∠NBT;又∠BHM=∠BTN

∴△MBH∽△NBT, ,MH=1. FM=FG-MH-HG=5-1-3=1.

DC∥FG, ,,FP==;

又,,,FQ=.

所以PQ=FQ-FP=-=.（12分）