Question

【题目】已知：在中，．

（1）若．

①如图1，点在内，求 的度数；

②如图2，点在外，求 的度数；

（2）如图3，若，点在内，且，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①150°；②30°；（2）2

【解析】

（1）①根据等边三角形的判定可知是等边三角形，由旋转的性质得到△CDO为等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断出△BOD为直角三角形，即可得出答案；
②由旋转的性质得到△DAO是等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断出△BOD为直角三角形，即可；
（2）作出△ABQ∽△ACP，判断出△AOQ为直角三角形，从而得到△BOQ为直角三角形，根据勾股定理计算即可．

解：（1）

是等边三角形，

①如图 1，把 绕着点顺时针旋转，使点旋转到点，得到，连结.

由旋转可知

图1

为等边三角形

②如图 2， 把绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到,连接.

图2

是等边三角形，

（2）如图3，作，使得：

则

与相似比为

根据勾股定理得，

.

图3