Question

如图11，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）．

（1）探究：如图12，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的直线于，求与的长．

（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论还成立吗？

                                                  

Answer 1

解：（1）结论成立

证明：由已知易得

∴

∵FH//GC

  ∴

（2）∵G在直线CD上

∴分两种情况讨论如下：

①     G在CD的延长线上时，DG=10

如图3，过B作BQ⊥CD于Q，

由于ABCD是菱形，∠ADC=60，

∴BC=AB=6，∠BCQ=60，

∴BQ=，CQ=3

∴BG=

又由FH//GC，可得

而三角形CFH是等边三角形

∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH

∴，∴FH=

由（1）知

∴FG=

②     G在DC的延长线上时，CG=16

如图4，过B作BQ⊥CG于Q，

由于ABCD是菱形，∠ADC=60⁰，

∴BC=AB=6，∠BCQ=60⁰，

∴BQ=，CQ=3

∴BG==14

又由FH//CG，可得

∴，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6

∴FH=

又由FH//CG，可得

∴BF=

∴FG=14+

（3）G在DC的延长线上时，

    所以成立

结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立．