题目内容
【题目】《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题.
（规律探索）
(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－
＝__________；
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2＝_______；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3＝__________；
如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；
……
若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________.
（规律归纳）
(2)直接写出＋
＋
＋…＋
的化简结果：_________.
（规律应用）
(3)直接写出算式＋＋＋…＋的值：__________.
【答案】（1）
；
；
；
；()n；（2）
；（3）
.
【解析】
(1)结合图形计算即可求出，按照规律推出S阴影n的表达式即可；
（2）由上面的规律可得1--
-
-…-
=，然后转换得到＋＋＋…＋再化简即可；
（3）把（2）的化简结果计算即可得出.
(1)根据图像和计算直接可得S阴影1＝1－=；
S阴影2＝1－－()2＝；
S阴影3＝1－－()2－()3＝；
S阴影4＝1－－()2－()3－()4＝；
由此可以发现规律1－－()2－()3－…一直减下去，答案就等于减去的最后一个数的值；
故S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n＝()n.
(2)由上面的规律可得1----…-=，
即＋＋＋…＋=1-=.
(3) ＋＋＋…＋=1-=.
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