Question

如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的大小．

Answer 1

分析：先求证

S△PBC

S△ABC

=

x

x+6

，同理：

S△PAC

S△ABC

=

y

y+6

，

S△PAB

S△ABC

=

z

z+6

，再利用S_△ABC=S_△PBC+S_△PCA+S_△PAB，将分式化简，再将xy+yz+zx=28代入即可．

解答：解：如图：∵S_△PBC=

1

2

PM•BC，S_△ABC=

1

2

AN•BC，
∴

S△PBC

S△ABC

=

PM

AN

=

PD

AD

=

x

x+6

，
同理：

S△PAC

S△ABC

=

y

y+6

，

S△PAB

S△ABC

=

z

z+6

，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PCA+S_△PAB，
∴

x

x+6

+

y

y+6

+

z

z+6

=1．
即1-

6

x+6

+1-

6

y+6

+1-

6

z+6

=1，
∴

3

x+6

+

3

y+6

+

3

z+6

=1，
∴3（yz+zx+xy）+36（x+y+z）+324
=xyz+6（xy+yz+zx）+36（x+y+z）+216，
∴xy+yz+zx=28．
∴xyz=108-3（xy+yz+zx）=24．
答：xyz的大小为：24．

点评：此题主要考查学生对三角形面积计算的理解和掌握，解答此题的关键是求证

S△PBC

S△ABC

=

x

x+6

，

S△PAC

S△ABC

=

y

y+6

，

S△PAB

S△ABC

=

z

z+6

．此题有一定的拔高难度，属于难题．