题目内容
【题目】如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数
的图象于点A，交函数
的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，边接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．
【答案】（1）
；（2）则Q的坐标为（0，﹣
），（0，），（0，2）或（0，1）；
（3）见解析.
【解析】
（1）根据P点坐标先求出A，B两点坐标，然后求出C点坐标，得到AB=3，BC=
，再利用三角形面积公式求解即可；
（2）如图①，先求得OA=，再分OA=OQ，AQ=AO，QO=QA三种情况，分别求出Q点坐标即可；
（3）如图②过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，因为点P的坐标为（t，0），所以点A的坐标为（t，
），点B（t，
），点C（
，），由图②可知S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP，进而可得到关于t的方程，然后解方程即可.
解：（1）当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，
∵点A在反比例函数y=
上，点B在反比例函数y=
上，
∴点A（1，1），点B（1，4），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4，
又∵点C在y=上，
∴点C的坐标为（
，4），
∴AB=3，BC=，
∴S△ABC=
×BC×AB=；
（2）如图①所示：OA=
=，
①若OA=OQ，点Q位于Q1或Q2位置，此时Q1（0，﹣），Q2（0，）；
②若AQ=AO，点Q位于Q3位置，此时Q3（0，2）；
③若QO=QA，点Q位于Q4位置，此时Q4（0，1）；
则Q的坐标为（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：
∵点P的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t，
），点B（t，
），点C（
，），
∴S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP=1+（+）×（t﹣）﹣﹣=
；
故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．
