Question

已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点P是劣弧BC上一点（端点除外），∠APB=∠APC=60°．延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．
（3）若AP不过圆心O，如图②，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆周角定理可得到∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，由此可判定△ABC是等边三角形；
（2）通过证△BCD≌△ACP，可得∠APC=∠D=60°；根据圆内接四边形的外角等于它的内对角可得∠DPC=∠BAC=60°，由此可得到△PDC是等边三角形的结论．
（3）由（2）的解题思路知：△PDC的形状与AP是否为直径无关，故结论与（2）相同．
解答：（1）证明：∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°；
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：△PDC是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC；
又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，
∴△BCD≌△ACP；
∴∠APC=∠D=60°；
∵四边形ABPC内接于⊙O，
∴∠DPC=∠BAC=60°；
∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；
∴△PDC是等边三角形；

（3）解：△PDC是等边三角形，理由同（2）．
点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质．能够通过全等三角形得到∠D=60°是解答此题的关键．