题目内容

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标：P（，）．
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

∴这个二次函数的表达式为y=x²-2x-3；
（2）∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，四边形ABPC为等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴点P与点C是抛物线的上的对称点，
∵抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =1，
∴点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
故答案为2，-3；
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图，

则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，-3），
∴E点坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），
∴点P的纵坐标为- $\text{[math]}$ ，
把y=- $\text{[math]}$ 代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=- $\text{[math]}$ ，
解得x= $\text{[math]}$ ，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴满足条件的点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=-2，c=-3，则二次函数的表达式为y=x²-2x-3；
（2）由于抛物线为轴对称图形，要得到四边形ABPC为等腰梯形，只有PC∥AB，则点P与点C是抛物线的上的对称点，可求得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可得到点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），则点P的纵坐标为- $\text{[math]}$ ，再把y=- $\text{[math]}$ 代入y=x²-2x-3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴为x=- $\text{[math]}$ ，当a＞0，y_最小值= $\text{[math]}$ ；当a＜0，y_最，大值= $\text{[math]}$ ；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．