Question

如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：
（1）∠BAP=∠AQE；
（2）S_△APQ=S_矩形ABCD．

Answer 1

分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）利用“角边角”证明△ADQ和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得DQ=DE，再根据两组角对应相等，两三角形相似求出△ABP和△QDA相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出DQ，然后根据S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE列式整理即可得证．

解答：证明：（1）∵∠PAD+∠BAP=90°，∠QAD+∠AQE=90°，
∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE；

（2）在△ADQ和△ADE中，

∠PAD=∠QAD AD=AD ∠ADE=∠ADQ=90°

，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE，
∵∠BAP=∠AQE，∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABP∽△QDA，
∴

AB

DQ

=

PB

AD

，
∴DQ=

AB•AD

PB

，
∵S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE，
=

1

2

QE•BC+

1

2

QE•CP，
=

1

2

QE•PB，
=

1

2

×（2DQ）•PB，

1

2

×

2AB•AD

PB

•PB，
=AB•AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．

点评：本题考查了矩形的性质，等角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（2）把△APQ的面积分成两个三角形的面积的和求解是解题的关键．