题目内容

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，垂足为点O．过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B、P两点间的距离为x．
（1）如图2，如果四边形ABPQ是平行四边形，求x的值；
（2）过点Q作直线BC的垂线，垂足为点R，当x为何值时，△PQR∽△CBO？
（3）设△AOQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域．

解：（1）∵AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，
∴OA=OC= $\text{[math]}$ AC=3，
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BC，AQ=BP，
∴AQ：CP=OA：OC=1，
∴AQ=CP，
∴BP=CP= $\text{[math]}$ BC=2.5，
∴x=2.5；

（2）当x=0或5时，易得△PQR∽△CBO，
当x≠0或5时，
∵BO⊥AC，QR⊥BC，
∴∠BOC=∠QRP=90°，
当∠C=∠QPR时，△PQR∽△CBO，
∴OP=OC=3，QP：BC=QR：OB，
∵AE∥BC，OB=4，
∴△AOQ∽△COP，
∴OQ：OP=OA：OC=1，
∵QP=6，
∴QR= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
过点O作OK⊥BC，垂足为K，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OK= $\text{[math]}$ ，
∴PK= $\text{[math]}$ ，
∴PC= $\text{[math]}$ ，
∴BP= $\text{[math]}$ ；
∴当x=0、5或 $\text{[math]}$ 时，△PQR∽△CBO．

（3）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，∠AOQ=∠COP，
∵OA=OC，
∴△AOQ≌△COP，
∴S_△AOQ=S_△COP=y，
∵OK= $\text{[math]}$ ，
∴y=S_△COP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =6- $\text{[math]}$ x（0≤x＜5）．
分析：（1）首先根据等腰三角形的三线合一定理，得到OA=OC= $\text{[math]}$ AC=3，再由相似三角形的判定，得到比例线段，问题即可得解；
（2）首先根据当x=0或5时，以及当x≠0或5时，然后可求得BP的长；
（3）首先根据AAS，证明△AOQ≌△COP，再根据三角形面积的求解方法，表示出△OPC的高与低即可求解．
点评：本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质和三角形面积的求解．此题属于综合性比较强的题目，解题时注意仔细识图．