题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒
32
个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥精英家教网x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
分析：（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）设直线x=1上一点T（1，h），连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，根据TA=TC由勾股定理求出即可；
（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根据三角形的面积公式求出即可；
（II）当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可．
解答：解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：
4a-2b+4=0
16a+4b+4=0
，
解得：a=-
1
2
，b=1，
∴抛物线的解析式是：y=-
1
2
x2+x+4，
答：抛物线的解析式是y=-
1
2
x2+x+4．

（2）由y=-
1
2
x2+x+4=-
1
2
（x-1）2+
9
2
，得抛物线的对称轴为直线x=1，
直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h），精英家教网
连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，
由C（0，4）得点E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得32+h2=12+（4-h）2，
∴h=1，
∴T的坐标是（1，1），
答：点T的坐标是（1，1）．

（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，
∴
PM
CO
=
AM
AO
，PM=2t，
AQ=6-t，
∴S=
1
2
PM•AQ=
1
2
×2t（6-t）=-t2+6t=-（t-3）2+9，
当t=2时S的最大值为8；
（II）当2＜t≤3时，
作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，
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则△COB∽△CFP，
又∵CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AQ=4+
3
2
（t-2）=
3
2
t+1，
∴S=
1
2
PM•AQ=
1
2
（6-t）（
3
2
t+1）=-
3
4
t2+4t+3=-
3
4
（t-
8
3
）2+
25
3
，
当t=
8
3
时，S最大值为
25
3
，
综合（I）（II）S的最大值为
25
3
，
答：点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=-t2+6t（0＜t≤2），S=
3
2
t2+4t（2＜t≤3），S的最大值是
25
3
．
点评：本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
练习册系列答案
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8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）
如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
1
2
，
9
8
），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
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