题目内容
11．已知，抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3）点B（5，8）（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式和顶点坐标；
（2）知图1，连接AB，在x轴上确定一点C，使得∠ABC=90°，求出点C的坐标；
（3）将抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线y=ax2+mx+n，直线y=kx+2（k＞0）与抛物线y=ax2+mx+n交于点E（x1，y1），F（x2，y2）（x1＜x2），连接OE，OF，若S△EOF═3，在图2中画出平面直角坐标系并求k．
分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）首先求出直线AB、BC的解析式即可解决问题．
（3）由抛物线的解析式为y=x2-4x+3的顶点坐标（2，-1），又因为将抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为y=x2，（如图所示），设EF与y轴交于点C，则OC=2，根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）把点A（0，3）点B（5，8）的坐标代入y=x2+bx+c中，得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{25+5b+c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
（2）∵A（0，3）点B（5，8），设直线AB的解析式为y=mx+n，则有$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{5m+n=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+3，
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，设直线BC的解析式为y=-x+b′，把（5，8）代入得到b′=13，
∴直线BC的解析式为y=-x+13，令y=0，得x=13，
∴C（13，0）．
（3）∵抛物线的解析式为y=x2-4x+3的顶点坐标（2，-1），
∴将抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为y=x2，（如图所示），设EF与y轴交于点C，则OC=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得到x2-kx-2=0，
∴x1+x2=k，x1x2=-2，
∴x2-x1=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+8}$，
∵S△EOF=$\frac{1}{2}$•OC•（x2-x1），
∴3=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{{k}^{2}+8}$，
∴k2=1，
∵k＞0，
∴k=1．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、两直线垂直的条件、三角形的面积公式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0），（0，4），点D的坐标为（5，0），点P沿矩形的边C-B-A-O-C运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4）、（9，3）．
如图，若AD∥BC，则∠1=∠5，∠8=∠4，∠ABC+∠BAC=180°；若DC∥AB，则∠3=∠7，∠2=∠6，∠ABC+∠BCD=180．
如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，∠A、∠D的角平分线交于点E，已知∠E=50°，求∠AOB的度数．