Question

如图所示，矩形ABCD，AB＞AD，E在AD上，将△ABE沿BE折叠后，A点正好落在CD上的点F．
（1）用尺规作出E、F；
（2）若AE=5，DE=3，求折痕BE的长；
（3）试判断四边形ABFE是否一定有内切圆．

Answer 1

分析：（1）根据题意作图即可；
（2）在△DEF中利用勾股定理可求得DF的长，证明Rt△ADF∽Rt△BAE，利用相似三角形的性质可求得BF的长，在△BEF中利用勾股定理可求得BE的长；
（3）假设四边形ABFE有内切圆，则圆心必在BE上．求出内切圆半径即可作出判断．

解答：解：（1）作法：①作BF=BA交CD于F．
②连BF作∠ABF的平分线，则点E、F为所求．

（2）连接EF
由条件知：Rt△ABE≌Rt△FBE
∴EF=AE
又∵AE=5，DE=3，∠D=90°
∴DF=

52-32

=4
又∵BE⊥AF
∴Rt△ADF∽Rt△BAE
∴

AD

AB

=

DF

AE

∴AB=

AD?AE

DF

=

8×5

4

=10
∴BE=

102+52

=5

5

；

（3）假设四边形ABFE有内切圆，则圆心必在BE上．
设圆心为点I，内切圆半径为r，△BMI∽△BAE，

MB

AB

=

IM

AE

，
则有

r

5

=

10-r

10

∴r=

10

3

＜5，符合题意，
∴此四边形ABFE一定有内切圆．

点评：考查了翻折变换（折叠问题），图形对折的问题一定要注意，折叠的图形与折叠后的图形全等，此题还考查了勾股定理的应用和三角形的内切圆与内心．