Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB．

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接OB． 　　∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA． 　　∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA． 　　∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA， 　　即∠PAO＝∠PBO　　2分 　　又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°， 　　∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB　　4分 　　又∵OB是⊙O半径， 　　∴PB是⊙O的切线　　5分 　　说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB． 　　(2)解：连接OP，交AB于点D． 　　∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． 　　∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． 　　∴OP垂直平分线段AB　　7分 　　∴∠PAO＝∠PDA＝90°． 　　又∵∠APO＝∠DPA，∴△APO∽△DPA． 　　 　　说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．