题目内容
如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形.
（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明.
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系 .
【答案】
详见解析.
【解析】
试题分析：
(1)判断
和
的数量关系，可通过
证
求解.判断和的位置关系，可延长交于点
，求
即可。
（2）
，理由是：过点
作
，
，利用
得出
，由全等三角形得到面积相等,而
,可得出
，由到角两边距离相等的点在角的平分线上得
为
的角平分线，再由
，及一对对顶角相等，可得，利用角平分线的定义即可求解.
（3）
.如备用图，在
上截取
，由
可得
为等腰直角三角形，由勾股定理得
,然后证
，因为
（理由：
；由问题2中得
；以及正方形的边
.由
可得全等）.根据全等三角形的对应边相等即可求证.
试题解析：
解：（1）
，
理由如下：如上图1，
∵四边形BEFG和ABCD为正方形
∴
∵在
和
中
∴
∴
，
延长交于点，
∴
∴
∴
(2)
，理由如下：如上图2
过点作，
在和
中
∴
∴
∴
∴
∴
平分
∵
∴
（3）
考点：1、正方形的性质.2、全等三角形的判定.3、角平分线的性质.4、勾股定理.
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