Question

如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.

【小题1】求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
【小题2】连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；
【小题3】在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【小题1】（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,
∴点B坐标为（6，0）.
将点B坐标代入得：
36+12=0,
∴=.
∴抛物线解析式为.
当=3时，,
∴顶点A坐标为（3，3）.
（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）
【小题2】（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
∴  解得,  ∴.
∵直线∥AB且过点O,
∴直线解析式为.
∵点是上一动点且横坐标为,
∴点坐标为（）
当在第四象限时（t＞0），

=12×6×3+×6×
=9+3.
∵0＜S≤18,
∴0＜9+3≤18,
∴-3＜≤3.
又＞0,
∴0＜≤3.5分
当在第二象限时（＜0）,
作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N.

则

=-3+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3+9≤18,
∴-3≤＜3.
又＜0,
∴-3≤＜0.6分
∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.
【小题3】(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）

解析