Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，
（1）求∠BAE的值（用α表示）；
（2）若∠BCD=150°，∠ABD=60°，判断△ABD的形状并加以证明．

Answer 1

分析 （1）连接AE、CE，根据旋转可得出∠CBE=60°、BC=BE，结合等边三角形的判定即可得出△BCE为等边三角形，进而可得出BE=CE，由AB=AC和AE=AE利用全等三角形的判定定理SSS即可证出△ABE≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可得出∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，代入数据此题得解；
（2）△ABD为等边三角形．由等边三角形的性质可得出∠BEC=60°，由（1）△ABE≌△ACE结合角的计算可得出∠BEA=150°=∠BCD，再由∠CBE=60°=∠ABD即可得出∠ABE=∠DBC，利用全等三角形的判定定理ASA即可证出△ABE≌△DBC，即找出AB=DB，结合∠ABD=60°即可证出△ABD为等边三角形．

解答 解：（1）连接AE、CE，如图1所示．
∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，
∴∠CBE=60°，BC=BE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CE．
在△ABE和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AE=AE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α．
（2）△ABD为等边三角形．
证明：∵△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=60°．
∵△ABE≌△ACE，
∴∠BEA=∠CEA=$\frac{1}{2}$（360°-∠BEC）=150°，
又∵∠BCD=150°，
∴∠BEA=∠BCD．
∵∠CBE=60°，∠ABD=60°，
∴∠ABE+∠EBD=60°，∠EBD+∠DBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC．
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\\{∠BEA=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴AB=DB．
∵∠ABD=60°，
∴△ABD为等边三角形．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，结合边角关系证出△ABE≌△ACE和△ABE≌△DBC是解题的关键．