Question

【题目】如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．求证：

是等腰三角形；

；

．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）首先根据四边形ABDE为⊙O的内接四边形，判断出∠AED+∠ABC=180°，进而判断出∠DEC=∠ABC；然后根据AB=AC，判断出∠ABC=∠C，所以∠DEC=∠C，DE=DC，据此判断出△DEC为等腰三角形即可；
（2）首先根据∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，可得∠CBE=∠CAD；然后根据∠BCE=∠ACD，可得△BEC∽△ADC；据此解答即可；
（3）首先根据△BEC∽△ADC，可得，即CDBC=ACCE；然后根据AB是⊙O的直径，判断出∠ADB=90°，进而判断出CD=BC，CDBC=BCBC=BC2；最后根据AB=AC，判断出BC2=2ABCE即可．

证明：∵四边形为的内接四边形，

∴，

又∵，

∴；

∵，

∴，

∴，

∴，

即为等腰三角形．

∵与是同弧所对的圆周角，

∴．

又∵，

∴；

根据，

可得，

即；

∵是的直径，

∴，

即是底边上的高；

又∵，

∴是的中点，

∴，

∴；

∵，

∴．

∴，

即．