Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．

（1）证明：△AGE≌△ECF；

（2）求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；

（2）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．

试题解析：（1）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分线，∴∠DCF=∠FCH=45°，∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中，∵AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°，∠GAE=∠FEC；

∴△AGE≌△ECF；

（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E为BC中点，∴BE=BC=AB=a，根据勾股定理得：AE==a，∴S△AEF=．