题目内容

如图，直线l的解析式为y= $数学公式$ x+4，l与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求原点O到直线l的距离；
（2）有一个半径为1的⊙C从坐标原点出发，以每秒1个单位长的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t（秒）．当⊙C与直线l相切时，求t的值．

解：（1）在y= $\text{[math]}$ x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，
∴AB= $\text{[math]}$ =5
设点O到直线AB的距离为h，
∵S_△AOB= $\text{[math]}$ AO•BO= $\text{[math]}$ AB•h
∴h= $\text{[math]}$ =2.4；

（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，
∵AO⊥BO，∴∠BDC=∠BOA=90°
∵∠ABO=∠CBD
∴△ABO∽△CBD
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由（1）得AO=3，BO=4，AB=5
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴BC= $\text{[math]}$
∴OC=4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴t=CO= $\text{[math]}$ （秒）
根据对称性得BC'=BC= $\text{[math]}$
∴OC'=4+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴t=OC′= $\text{[math]}$ （秒）
∴当⊙C与直线l相切时， $\text{[math]}$ 秒或 $\text{[math]}$ 秒．
分析：（1）设点O到直线AB的距离为h，在y= $\text{[math]}$ x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，有三角形的面积公式可求出O到直线AB的距离为h=2.4；
（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，由于AO⊥BO，∠ABO=∠CBD，所以∠BDC=∠BOA=90°，△ABO∽△CBD，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由（1）得AO=3，BO=4，AB=5，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，BC= $\text{[math]}$ ，OC=4- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，t=CO= $\text{[math]}$ （秒），根据对称性得BC'=BC= $\text{[math]}$ ，OC'=4+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴t=OC′= $\text{[math]}$ （秒）．故当⊙C与直线l相切时， $\text{[math]}$ 秒或 $\text{[math]}$ 秒．
点评：此题把一次函数与圆的知识相结合，增加了难度，在解答此题时要注意直线与圆相切的两种情况，不要漏解．